悖論，問題出在哪裏？

300

哲学
不会有结局的
镜像故事

六

喜蹚历史浑水，
寻觅智慧的足迹。。。

古月語

悖论是什么？初稿：二○○七年九月十九日上午十時
修改：二○○七年九月二十日下午廿三時

人類對悖論的認識有一個過程，問題是我們對悖論的認識了結了沒有？古月語相信，在人類對悖論的認識終結的那天，人類終於真正認識了自己。
悖論是鏡像訊息，不是源訊息。源訊息是智慧程式之外的集合，鏡像訊息是智慧程式裏的集合。
源訊息除了可以引發（這是生命學的課題）智慧程式裏的蛋白質和基因反應外，和智慧程式活動並無任何直接關係，你可以稱之為『一堆東西』，或者『一群物件』，為了便於以後行文，這裏定名為物集合。源訊息專門用於指激發智慧程式產生鏡像訊息的物，它一定是物集合裏的元素或子集合，物集合裏的所有物件都可以成為源訊息，世界是可以認識的。
智慧程式是一種集合，這種集合是定義了的蛋白質和基因組合。或者，你可以說，是一個能夠定義的蛋白質和基因群體。這個群體裏的氨基酸和核苷酸的不斷組合活動令人類（可以外延至諸如靈長類、海豚、烏鴉等）個體能夠和他之外的物件互動而不至于終止。
氨基酸和核苷酸仍然是物集合裏的單體或單體子集合。只是，鏡像訊息也可以是智慧程式裏氨基酸和核苷酸活動的表象，而不是氨基酸和核苷酸本身，因此鏡像訊息並不完全屬於物集合。
源訊息是物集合裏單體或子集合，它或他們可以令智慧程式裏的蛋白質和核苷酸重組。智慧程式裏的相應反應（而反應的細節目前科學家還不甚了了）就是鏡像訊息。
古月語堅持智慧程式裏的第一個鏡像訊息源于源訊息，或者源于他人通過語言文字提供的訊息，意思就是說一個原先沒有和外界接觸的智慧程式是不可能自行產生可以和外界源訊息對應的鏡像訊息。除此之外鏡像訊息可以源于前一級的鏡像訊息。這裏有一個因果關係，不可顛倒。
鏡像訊息就目前人類對世界的認知水平來說，它可以是物集合的一個子集合，也僅僅是蛋白質和基因（不是遺傳基因，而是製造蛋白質的基因）的某種定義的集合，但是，如果氨基酸和核苷酸組合過程的表象被定義為鏡像訊息，這個鏡像訊息就不屬於物集合。它不是物集合並不意味超自然，而是物和物之間互相作用的表象，物仍然是第一性，沒有第一性就沒有相應的表象。
表象永遠是瞬息動態，是不能被儲存，但可以重演。影片可以格式化成為格子儲存，僅僅是利用了智慧程式辨識快速變化的極限而得出連續性假象的的現象。表象可以成為一個鏡像訊息的源訊息也是悖論出現的一個原因。任何鏡像訊息都必需源于一個或一組物集合。因此，如果一個鏡像訊息源于另一個鏡像訊息，那麼這個鏡像訊息可以源于一個智慧程式裏的物集合，即蛋白質和基因，也可以源于這個物集合引發的表象。這正是鏡像訊息的複雜性，正因為這樣的複雜性導致了人的思維和行為的複雜性，最後導致社會的複雜性。
鏡像訊息可以源于鏡像訊息是悖論產生的唯一原因。
物集合是一個無窮集合，決定了源訊息的無窮性。而鏡像訊息的無窮性源于氨基酸和核苷酸組合的無窮性。
因此，悖論的出現可以源源不絕，尤其是對於個人來說，如果悖論思維出現在領袖身上，死得人多矣。如果我們的智慧程式裏的鏡像訊息足夠多，並且之間集合成的系統遵循嚴格的因果關係，而不是因為某種利益，包括『面子』帶來的潛在利益，悖論是可以避免的，引發的社會災難也是可以避免。『數學危機』災難還不是血腥的，社會災難才血腥。

悖论
思维的怪胎问题出在哪里？
二○○七年九月十四日

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當你見到人類思想史上經典的、著名的形形色色悖論的時候，會有甚麼感想呢？
古月語首當其沖的想法是：問題出在哪裏呢？第二個問題是悖論常見嗎？第三個問題是悖論造成甚麼社會後果？第四個是能夠將悖論從我們的思想體系剔除嗎？
以其人之道還治其人之身，是不是悖論？當我們結合平等這個宇宙第一法則來考量這句話的時候，你以其人之道還治其人之身，對方也以其人之道還治其人之身，結果其人之道已經不知是誰的道，其人之身也不知是誰的身的時候，因是果，果是因，成了典型的悖論。以己所不欲施予人，用自己極度詛咒的模式去建立自己的理想社會，它就成為悖論。
悖論源于智慧程式應該是無可置疑。將智慧程式關閉成為預設程式是成因。
橫看豎看，悖論是一種怪胎。

中华经典悖论

粗略的說，矛盾是在兩個或更多陳述、想法或行動之間的不一致。你必須徹底的拒絕至少其中一個想法。
漢語辭源出自《韓非子》中《難一》所述故事：楚人有鬻盾與矛者，譽之曰：「吾盾之堅，物莫能陷之。」以譽其矛曰：「吾矛之利，於物無不陷也。」或曰：「以子之矛陷子之盾，何如？」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛不可同世而立。

在邏輯中，矛盾被更加特殊化的定義為同時斷言一個陳述和它的否定(可以使用"否認"替代"否定")。當然，這假定了"否定"有著無疑問的定義。這個想法基於亞里士多德的無矛盾律，它聲稱「你不能同時聲稱某事物在同一方面既是又不是」。

在口語和辯證法中，"矛盾"有著同形式邏輯中完全不同的意義。

利用矛盾的證明

在演繹邏輯(和數學)中，矛盾通常作為有什麼東西錯誤了的跡象，你需要折回你的推理的步驟並"檢查你的前提"。這在數學中的反證法中發揮了巨大的作用: 因為矛盾永遠不能為真，所以它永遠不能是有著全部為真的前提的有效論證的結論。要構造一個利用矛盾的證明，你需要從一組前提構造一個有效的論證，得出是邏輯矛盾的一個結論。因為結論為假，並且論證是有效的，唯一的可能性是一個或多個前提為假。在很多關鍵的數學證明中使用了這種方法，比如歐幾裡得對沒有最大質數的證明，和康拖爾對在 0 和 1 之間有不可數的多個實數的對角線證明。

涉及矛盾的悖論

矛盾同許多有名的悖論有關。其中之一是在一階謂詞演算中從矛盾中可以推導出任何命題(也叫陳述)。換句話說，依據謂詞演算，不管 P 和 Q 意味著什麼，如果 P 和 ¬P 都為真的，則 Q 為真。在這個事實的表達中，矛盾被稱為在一階邏輯中的"邏輯爆炸"。

例如，下列論證是嚴格有效的，就是說前提在邏輯上蘊涵結論:

前提: 5 既是偶數又是奇數。(就是在上述公式中的 P ∧ ¬P)。
結論: 神存在。 (就是 Q)。

下面的論證也是有效的:

前提: 5 既是偶數又是奇數。(就是 P ∧ ¬P)。
結論: 神不存在。(就是 ¬Q)。

注意這兩個論證共有的前提是錯誤的；5 是奇數而不是偶數。所以這些論證都不是可靠的，這意味著它們都沒有為信賴它的結論給出一個邏輯基礎。

可能大多數人認為這是怪異的，如果 5 既是偶數又是奇數，就能夠在邏輯上得出明顯的不相關的任何事情比如神的存在性的結論。更加怪異的是，這個悖論還蘊涵了，如果一個人有是矛盾的任何兩個信仰，則這個人在邏輯上證實任何可想象到的信仰。

這個悖論的證明

即使謂詞演算的基本規則對於好的推理方式都是可靠的，它們在一起就會蘊涵這個悖論。有兩個方法證明它。

第一個方法來自合取和蘊涵的真值表定義:

(P ∧ ¬P) 為假。
所以，(P ∧ ¬P) → Q 為空虛真理。

第二個方法基於真值表的在美學上的缺陷:

假設 P ∧ ¬P。基於這個假定我們可以推導出:

P (合取除去)
¬P (合取除去)
假設 ¬Q。基於這個假定我們可以推導出:

P (前面的結果)

所以 ¬Q → P (條件證明)
¬P → Q (前面一行的逆反命題)
Q (肯定前件)

所以 (P ∧ ¬P) → Q (條件證明)

[編輯] 參見

爆炸原理
矛、盾

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1個分類: 邏輯

经典悖论

悖論，亦作弔詭或詭局，是指一種導致矛盾的命題。悖論的英文paradox一詞，來自希臘語「para+dokein」，意思是「多想一想」。如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
經典悖論

古希臘四大悖論

兩分法悖論
阿奚里追龜
飛矢不動
遊行隊伍悖論

錢包悖論
謊言者悖論
集合論悖論
辛普森悖論
蘇格拉底悖論
書目悖論
唐·吉訶德悖論
Braess悖論
羅素悖論
祖父悖論
生日悖論

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2個分類: 悖論 | 邏輯

全能悖论

全能悖論始見於中世紀，因在基督宗教的教義中，至高無上的神是「全能、全知、全善」的，因此亦稱全能上帝悖論。全能悖論不是要否定全能者或上帝不存在，而是指出「全能」這觀念隱含矛盾，不可能存在著全能上帝，即使上帝存在，亦不會是全能的。

全能悖論可以有很多種問題變化，其中一個常見的問題是：

上帝能創造出他自己舉不起的石頭嗎？

依此推論，若果上帝做不出他舉不起的石頭，他就不是全能。反之，若上帝舉不起這塊石頭，他亦不是全能。

有一個類似的變形，稱為萬能溶液悖論：「是否存在一種萬能溶液,它可以溶解一切物品？」。

悖論概說

反對「全能論」的人認為，「全能」這概念含有邏輯矛盾，不可能存在著全能者。其理據及推論方式一般如下：

排中律

無論 X 是甚麼，如果X能造一塊自己舉不起的石頭，X就不是全能的，因為這樣的石頭就不是X能舉起的（X至少有一塊石頭舉不起，那就是至少有一件事做不出，即有所不能）；如果X不能造一塊自己舉不起的石頭，X也不是全能的，因為X造不出這樣的一塊石頭。（X至少有一塊石頭造不出，亦就是至少有一件事做不出，亦即有所不能）

所以，無論X能不能造，X都不是全能的。由於「能」和「不能」已窮盡一切有關的可能性（排中律），因此在任何可能的情況下，X都不會是全能的。

以歸謬法反證

先假設「存在全能者X」（命題A），然後可得出兩個命題：

P：X能造出任何石頭
Q：X能舉起任何石頭

由P可推出R：「X能造出X舉不起的石頭」，與Q「 X能舉起任何石頭」產生矛盾（或由Q推出S：「宇宙不存在並且不會出現X舉不起的石頭」，與P「X能造出任何石頭」產生矛盾）。

根據歸謬法，由於前提A可推出矛盾命題，即可推出前提A內含矛盾。否定前題A可得出「不存在全能者X」。

全能論者的回應

支持「全能論」的人認為，「全能」這概念不含邏輯矛盾，如果「全能上帝」存在的話，祂會是「全能」的。支持「全能論」的理據如下：

全能者不在邏輯限制之下

全能者超越邏輯矛盾限制，邏輯亦不能拘束全能者
上帝創造宇宙萬物，自然是無所不能
運用手法如下：

先在問題前加上「萬能的/全能的」字眼，即：「萬能/全能的上主能造出他舉不起的石頭嗎？」，然後說「問題有矛盾」，等等

全能者在邏輯限制之下

全能者雖然是無所不能，但亦不能做出不合邏輯的事，如畫出「圓的正方形」、造一塊自己「舉得起並且舉不起的石頭」等
全能者能夠造一塊石頭，然之後再限制自己，使自己不能舉起該石頭。

命定悖论

命定悖論或命運悖論（ Predestination paradox ，命運注定的悖論），又稱因果循環（ Causal loop 或 Causality loop ，與佛教的業德去返無關），是科幻作品中與時間旅行有關的悖論。

這悖論大致與祖父悖論相反：

如果自己返回過去，將自己的祖父殺死，那麼自己的父母就會不曾出現過，隨之而言就連自己的存在也消失，把自己從（這個平行宇宙分支的）時間洪流中「消去」。

命定悖論是其中一個去解釋「為何歷史事實不被時間旅行中所作出的改變而受影響」的方法，就是：

改變歷史的做法，不論企圖與否，最終都會引致歷史所「命定」的結果，而並非作出之外的改變。

（Novikov self-consistency principle）提出，只有事件屬前後一致的因果循環才能出現，矛盾的則不能。

例子

「命中註定」的例子：

一個人欲回到過去以調查一場有名火災事故的起因，就在那人身處未發生火災的現場時，碰跌了一個火水燈，導致當時的火災──那個引發那個人回到過去以調查一場有名火災事故的起因的火災。

參看參看因果系統
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%91%BD%E5%AE%9A%E6%82%96%E8%AB%96&variant=zh-hk
故事提要
一位年輕女子莎拉·康納離奇地發現自已被一名殘酷殺手追殺。她最終被未來軍人克勒·里斯找到，並得知軍方將會於未來開發名為「天網」的人工智慧，用於作出戰略決定。程式後來產生了自我意識，人類陷入恐慌，企圖毀滅天網。為求自保，天網奪取世上大部分軍事電腦的控制權（包括各種先進的機械人）並向人類發動全面的核攻擊。然而，一個叫約翰·康納的人最終帶領人類反抗軍得到勝利，卻發現天網作出最後掙扎：找出穿梭時空的方法，然後把一個機械殺手送到80年代，在約翰·康納出生前殺害他的母親。約翰·康納是莎拉未來的兒子，所以他派出他信賴的助手（里斯）不惜一切代價保護他的母親.

里斯的任務中最大的困難是未來戰士非常耐久，能夠承受可觀的傷害。由於時間穿梭的原理妨礙穿梭者攜帶死物進行時間穿梭，里斯被迫一絲不掛地抵達1980年代，但那時候的輕兵器卻不能有效地傷害未來戰士。此外，未來戰士完整的有機外層令它的外表和普通人類沒有分別──這簡直不可能向當時的人們解釋未來戰士其實是極先進的機械。

就如電影最終表現的一樣，作為人類的里斯，還因為這麼一個特別的原因而被送到1984年：他看到莎拉的照片而愛上她，所以自願執行任務——最後莎拉·康納生下了他們的兒子。

在1984年，未來戰士很快便取得衣物和為數極多的武器，開始它的任務。它按照洛杉磯電話簿的次序殺掉兩個名為「莎拉·康納」的女子，然後殺死了莎拉的室友金格以及金格的男友。之後它發現莎拉在一間名叫「Tech Noir」的夜總會等候警方和室友的援助。在莎拉即將被終結前，里斯制止了未來戰士的行動。里斯和莎拉在緊接著的追逐戰成功逃脫，未來戰士則強行搶走一輛警車繼續追殺他們。

在多層停車場匿藏時，里斯向受驚的莎拉解釋一切。不料未來戰士駛至，兩車之間隨即爆發槍戰。未來戰士的車被撞毀，里斯則被趕至的警察拘捕。在警局內，莎拉由特拉克斯勒（保羅·溫菲爾德飾）副隊長和武科維奇（蘭斯·亨利克森飾）偵探照料，里斯則被自鳴得意的犯罪心理學家希爾伯曼博士審問，並且被認為他那些荒誕的「妄想」的「難以理解」的呈供得不到任何證據證明其真偽。同一時間，未來戰士退回酒店房間修理在車禍中損壞的右手和眼球（劇照中的未來戰士戴著黑色眼鏡後，現出紅光的形象），之後重新武裝，前往警局。

未來戰士抵達警局時，櫃枱的警官告訴它不能見莎拉。在留下了一句「我會回來的。」（即「I'll be back,」施瓦辛格的名句）後，未來戰士駕車衝入大樓，摧毀了整個櫃枱（和警官）。未來戰士接著橫掃警察局，在驚慌、毫無準備的警察之間掃射出一條血路。里斯成功逃出囚房，在未來戰士找到莎拉前救出她。

次日，里斯和莎拉在汽車酒店暫避。里斯趁著這段時間製造塑膠炸藥和向莎拉表達愛意。然後他們之間有了性行為，使約翰·康納得以出生。同夜，未來戰士再次追蹤到他們，並在公路上展開追逐戰，里斯中彈受傷，但愈來愈機智的莎拉成功把未來戰士從它的摩托車上撞下來，不過也撞毀了自己的卡車。未來戰士搶走一架油車並駛向二人破爛的卡車。莎拉和重傷的里斯及時逃離，而且里斯用他的其中一枚炸藥炸毀油車。未來戰士的有機外層被燃燒的火焰燒毀。

當他們以為未來戰士已被毀滅時，未來戰士的金屬骨架突然從烈焰中冒出，並追趕他們到了一間自動化工廠。里斯作出抵抗而且用炸藥炸毀它，卻付出了自己的性命。在莎拉找到里斯的遺體時，未來戰士破損的上半身突然再度活動並攻擊她，但莎拉引誘它到液壓機內，然後啟動機器最終把它壓毀。

在電影的結尾，看見懷了孕的莎拉在墨西哥，正在為即將出生的兒子約翰錄下聲帶，告訴他她的所見所想。莎拉就此向著風暴來臨的前方、未知的未來駛去……
悖論
這部影片是命定悖論的例子：未來戰士的任務是回到過去殺害莎拉·康納以阻止約翰·康納的出生，從而阻止他成為反抗軍領袖並毀滅天網。可是，如果未來戰士沒有遵照程式襲擊警局，克勒·里斯和莎拉·康納就會被分隔開，約翰·康納——天網的真正目標——就不會出生。從更廣闊的角度而言，如果那機器沒有試圖阻止約翰·康納的出生，克勒·里斯就沒有回到過去的理由，因此約翰將不會誕生。

要注意的是這並不是結構性而是因果的悖論，和故事邏輯沒有矛盾，因為只有主要的問題與這一系列事件怎樣得以實現相關。這個悖論能以此類比：當所有基礎集齊時一條橋會相當穩固，但人們並不能靠拼合每個基礎而築起一條穩固的橋。

另外，雖然這部電影通常被認為是反科技，但金馬倫認為這部電影對科技持中立的態度：正派或反派都能利用科技。在電影中雖然有很多機器引致事情朝壞的方向發展（電話答錄機、隨身聽、莎拉母親的電話等），但最終壓毀未來戰士的液壓機也是機器。莎拉初次遇見未來戰士的酒吧的名字「Tech Noir」（即「黑暗科技」，Noir 為法文「黑色的」）——暗示著譬如未來戰士一類的科技黑暗面——同時也意味著人類最終能將之克服。

C值悖论

C值謎（C-value enigma）更常見且較早出現的名稱是C值悖論（C-value paradox）。指一個關於真核生物各物種的基因組大小差異的難題，也就是生物的C值（或基因組大小）並不與生物複雜程度相關的現象。例如植物與原生動物，可能具有比人類更大的基因組。

C值（英語：C-value）是指真核生物細胞中，單倍細胞核（受精卵或二倍體體細胞中的一半量）裡所擁有的DNA含量。有時候C值和基因組大小兩個用詞可替換使用，不過對於多倍體而言，C值可能是指同一個細胞核中的兩個基因組。

詞源
有些人誤以為C值中的「C」是指「characteristic」、「content」或「complement」。當初於1950年鑄造此一用語的Hewson Swift，並未精確地給出定義，在他的原始論文中，曾使用1C值、2C值等詞，是「classes」之意。

钱包悖论

錢包悖論，又稱錢包遊戲，是概率论中的一個悖論。
錢包悖論內容 A和B兩人進行一場賭博。
賭法是：由第三者計算A、B二君錢包裡面的錢，錢少者可以贏走錢多者的錢。
A對於這場賭博的想法為：若B君的錢比我少，我可能輸掉我現有的錢。但若B君的錢比我多，我贏了，就會得到多於我現有的錢。我能夠贏的錢比輸的錢多，所以這場賭博對我有利。
而B的想法也是如此。
二人想法的邏輯都正確，但若認為二人的想法都正確，又將做出這場賭博對A、B二人都有利的錯誤結論。這顯然是一個悖論。
錢包悖論來源
錢包悖論源自法國數學家莫里斯·克萊特契克，在他的《數學消遣》書中賭的是領帶而非錢.
「有兩個人都聲稱他的領帶好一些。他們叫來了第三個人，讓他作出裁決到底誰的好。勝者必須拿出他的領帶給敗者作為安慰。兩個爭執者都這樣想：我知道我的領帶值多少。我也許會失去它，可是我也可能贏得一條更好的領帶，所以這種比賽是對我有利。一個比賽怎麼會對雙方都有利呢？」

錢包悖論分析
克萊特契克在他的書中指明必須限制條件，這才是一場公平的遊戲，例如A，B二人對對方穿領帶的習慣一無所知等。
他還假定每一個比賽者帶有從0到任意數量（比如說一百元）的錢。以此假定構成兩人錢數的矩陣,就可看出這個此賽是「對稱的」，不會偏向任何一方。
但他沒有指出兩個比賽者的想法錯在哪裡。
其實問題就在A，B二人只以「可以贏更多的錢」這點，就做出這場賭博對自己有利的結論，當然是錯誤的。顯然是缺乏思考，對客觀事物的複雜程度缺乏認識，才會做出如此樂觀的結論。
這場賭博對誰有利的考慮誰可以贏得這場賭博。而不是以「可以贏更多的錢」來判斷。
若以誰有勝算來判斷，必須注意二點：
（一）必須計算期望值。
（二）「錢包裡有多少錢」是很隨機的。無法有一定的標準。難以論定這場賭博的勝負，但若將「所有人類的錢包裡的錢」相加後除以全人類數目，還是可以得出一個平均值.
若錢包裡的錢比平均值小，那勝算比較大，反之較小。各國家，各地區人的錢包裡的平均值都不一樣，全人類太廣泛，以國家，地區來分更加有勝算。
但就算是費很大力氣來得到這平均值，還是很難確定有勝算的。由此可見A，B二人認為這場賭博對自己有利的結論是做得多麼輕易，缺乏思考。
其實最有勝算的方法是知道對方的錢包裡有多少錢。
(三)問題到底出在那裡？錢包只有二個,所以錢包里的錢只存在二個數:X,Y 設X>Y A有1/2機會是X,1/2機會是Y;B也如是如果A的錢是Y,則贏得X;如果A的錢是X,則輸掉X. B也如是結論1/2機會贏,1/2機會輸而A,B想法的問題出在,他假設了3個數設自己(A)有X元,B有Y,(YX) 但實際上只存在2個數,所以這是錯誤的論證,推理出錯誤的結論!

錢包悖論現實生活例子
最常見的就是在賭博時，期待「如果贏的話、會贏得比輸得更多」。例如玩吃角子老虎機時認為「就算只中櫻桃，也是翻五倍！」問題是會中嗎？
取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%92%B1%E5%8C%85%E6%82%96%E8%AE%BA&variant=zh-hk"

说谎悖论

西元前6世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）說了一句很有名的話：「所有克利特人都說謊。」
這句話有名是因為它沒有答案。因為如果艾皮米尼地斯所言為真，那麼克利特人就全都是說謊者，身為克利特人之一的艾皮米尼地斯自然也不例外，於是他所說的這句話應為謊言，但這跟先前假設此言為真相矛盾；又假設此言為假，那麼也就是說所有克利特人都不說謊，自己也是克利特人的愛皮米尼地斯就不是在說謊，就是說這句話是真的，但如果這句話是真的，又會產生矛盾。因此這句話是沒有解釋的。

辛普森悖论

辛普森悖論
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當人們嘗試探究兩種變數是否具有相關性的時候，比如新生錄取率與性別，報酬與性別等，會分別對之進行分組研究。辛普森悖論是在這種研究中，在某些前提下有時會產生的一種現象。即在分組比較中都占優勢的一方，會在總評中反而是失勢的一方。該現象於20世紀初就有人討論，但一直到1951年E.H.辛普森在他發表的論文中，該現象才算正式被描述解釋。後來就以他的名字命名該悖論。
請看下面的例子
一所美國高校的兩個學院，分別是法學院和商學院，新學期招生。人們懷疑這兩個學院有性別歧視。現作如下統計：

法學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	8	45	53	15.1%
女生	51	101	152	33.6%
合計	59	146	205

商學院

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	201	50	251	80.1%
女生	92	9	101	91.1%
合計	293	59	352

根據上面兩個表格來看，女生在兩個學院都被優先錄取。即女生的錄取比率較高。現在將兩學院的數據彙總：

性別	錄取	拒收	總數	錄取比例
男生	209	95	304	68.8%
女生	143	110	253	56.5%
合計	352	205	557

在總評中，女生的錄取比率反而比男生低。

　女生單獨兩個向量斜率都比男生大，說明它們的比率都比較高。但最後男生總體向量斜率卻大於女生

在總評中，女生的錄取比率反而比男生低。

女生單獨兩個向量斜率都比男生大，說明它們的比率都比較高。但最後男生總體向量斜率卻大於女生藉助一幅向量圖可以更好的了解情況（右圖）

這個例子說明，簡單的將分組數據相加彙總，是不能反映真實情況的。

就上述例子說，導致辛普森悖論有兩個前提。

1 兩個分組的錄取率相差很大，就是說法學院錄取率很低，而商學院卻很高。而同時兩種性別的申請者分佈比重相反。女性申請者的大部分分佈在法學院，相反，男性申請者大部分分佈於商學院。結果在數量上來說，拒收率高的法學院拒收了很多的女生，男生雖然有更高的拒收率，但被拒收的數量卻相對不算多。而錄取率很高的商學院錄取了很多男生。使得最後彙總的時候，男生在數量上反而占優。

2 有潛在因素影響著錄取情況。就是說，性別並非是錄取率高低的唯一因素，甚至可能是毫無影響的。至於在學院中出現的比率差，可能是隨機事件。又或者是其他因素作用，比如入學成績，卻剛好出現這種錄取比例，使人牽強誤認為這是由性別差異而造成的。

為了避免辛普森悖論的出現，就需要斟酌個分組的權重，並乘以一定的係數去消除以分組數據基數差異而造成的影響。同時必需了解清楚情況，是否存在潛在因素，綜合考慮。

相關條目
區群謬誤

參考文獻
Skript zur Statistik in der Naturwissenschaften(Gerhard Osius, Universität Bremen)

取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%BE%9B%E6%99%AE%E6%A3%AE%E6%82%96%E8%AE%BA&variant=zh-hk"

数学危机

數學危機是數學公理在定義上的不完全或不夠嚴謹，導致在理性推論下，將會得到錯誤的結論。例如：在無理數還沒被發現之前，在畢氏定理中出現腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟是無法寫成有理數的數。這是第一次數學危機。第二次數學危機則是為了解決飛矢不動的悖論而產生的極值問題。第三次數學危機則是因羅素悖論而起，羅素悖論點出了數學集合論中的缺失
史上的三次數學危機
第一次危機第二次危機第三次危機
第一次數學危機
歷史背景
畢達哥拉斯（約公元前572年——公元前492年）是一位古希臘的數學家及哲學家，他曾有一句名言「凡物皆數」，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物。不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比——分數，簡單而言，他們所認識的只是「有理數」。
有趣的有理數
當時的人只有「有理數」的觀念是絕不奇怪的。對於整數，在數線上我們可以知道是一點點分散的，而且點與點之間的距離是一，那就是說，整數不能完全填滿整條數線，但有理數則不同了，我們發現任何兩個有理數之間，必定有另一個有理數存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數」可以完全填滿整條數線，「有理數」就是等於一切數，可惜這個想法是錯的，因為……
畢氏定理、畢氏鐵拳
偉大的時刻來臨了，畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的畢氏定理（其實中國於公元前一千一百年已有此定理），從這個定理中，畢達哥拉斯發現了一件不可思議的事，就是腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數的數。亦即是說有理數並非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全填滿整條數線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當時的數學界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數學危機」。
新的一頁
原來「第一次數學危機」是「無理數」的發現，不過它還說出了「有理數」的不完備性，亦即有理數不可以完全填滿整條數線，在有理數之間還有「罅隙」，無疑這些都是可被證明的事實，是不能否定的。面對著事實，數學家展開廣闊的胸襟，把「無理數」引入數學的大家庭，令數學更豐富更完備，加添了無理數，數線終於被填滿了。
不過，第二次數學危機又將要來臨了！
第二次數學危機
「飛矢不動」的吊詭
古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方，在云云的哲學學派之中，其中一派主張「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理念，不是我們的討論範圍，不過，這個學派的學者之一——芝諾，為了論證運動是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？
數學——打破吊詭的武器
當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論，但數學是一個講究嚴謹的學科，數學家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間都是動即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因為如何找出每一瞬間的速率呢？
無堅不摧——微積分
要解決每一瞬間的速率（以下稱瞬時速度）的問題，偉大的數學家和物理學家——牛頓（1643–1727），發現了一件無堅不摧的武器——微積分，其中微分便正好可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界，而且除了瞬時速度，微積分更在不同方面有廣泛的應用，並得到了瞬速的發展。不過，好境不常．．．
既不是零又不是非零？
因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題，所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」，換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量，那麼，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水，所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。
化危為機
數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西（1789–1857），重新建立微積分學的基礎——數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言——ε–語言」來說明甚麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚麼是既不是零又不是非零的問題，而這次的危機亦安然渡過，並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析」，也提醒了數學家們要繼續要求嚴格，不可鬆懈。
不過，第三次數學危機將要置數學於死地！
第三次數學危機
一個有趣的故事
在村有一位手藝高超的理髮師，他只給村上一切不給自己刮臉的人刮臉，那麼，他給不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個不給自己刮臉的人，他應當給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由於他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應當給自己刮臉了。他應該如何呢？
數學和哲學界的巨匠——羅素
以上的故事就是著名的「羅素悖論」。羅素（1872–1970）是英國著名的哲學家和數學家，曾獲得諾貝爾文學獎金。他想把算術系統全歸結於邏輯，所以他與懷海德合作寫的一本巨著《數學原理》。
理髮師的威力
羅素的悖論確是給當時正為了微積分的嚴格基礎被建立而歡欣鼓舞的數學家們潑了一盆冷水，但這個理髮師的力量有多大，竟然可以推倒數學大廈呢？在較高等的數學裡，我們會把整個數學的基礎納入「集合論」之中，換句話說，集合論便是數學大廈的基石，所以當集合論中出現矛盾時，建基於此之上的數學大廈也會站不住腳，而羅素的悖論卻是向著這個基石作出致命的一擊，這個「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」的矛盾是在集合論中的矛盾，也就是在數學基礎中的矛盾，只要矛盾一日存在，數學大廈也不可穩固，更會在倒塌的危機，這個也是數學的第三次危機。
解鈴還須繫鈴人？
羅素雖然提出了問題，成為危機的製造者，但同時也是危機的解決者，羅素在他的著作之中提出了層次的理論以解決這個矛盾，使得「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」不可能出現。不過，這個層次理論十分複雜，所以數學家要把這個方法加以簡化，而先提出的人是策墨羅，他提出了「有限抽象原則」和幾條公理，及後再由弗蘭克和斯柯倫的補充修改，仍成現在在數學上較為流行公理系統——「ZFS公理系統」。這樣不單只解決了羅素的悖論，令數學從回到嚴緊和無矛盾的領域，而且更促使一門新的數學分支——「數學基礎」有著迅速的發展。
數學危機的啟示
在這三次的數學危機中，我們可以看到數學的發展跟面對問題和正視困難是離不開的，透過克服一次又一次的困難而得到「成長」和完善，越是不怕艱辛，收獲便越大。第一次數學危機使人類突破有理數的局限；第二次數學危機從提數學的嚴緊性和誕生了新的數學分支；第三次數學危機警醒人除了發展各式各樣不同的分支以外，還得回看數學的根基本身，使數學邁向更完備。然而，成功並非一朝一夕，必須經歷無數的挫折和失敗，傷心和失望滿佈成功的路上，但只要不放棄，成功依然是可以達到的。另一方面是要從危機中的學習，學習如何應付之餘，還要學習如何避免再次陷入危機之中。
資料來自：http://hk.geocities.com/mathsworld2001/mathematicians/danger.htm

理发师悖论

羅素悖論，羅素於1901年提出的悖論，是一個關於類的內涵問題。我們通常希望：任給一個性質，滿足該性質的所有類可以組成一個類。但這樣的企圖將導致悖論：
設性質

P (x)

表示「 $x\not\in x$ 」，現假設由性質

P

確定了一個類

A

——也就是說「 $A=\{x|x \not\in x\}$ 」。那麼現在的問題是： $A\in A$ 是否成立？首先，若 $A\in A$ ，則

A

是

A

的元素，那麼

A

具有性質

P

，由性質

P

知 $A\not\in A$ ；其次，若 $A\not\in A$ ，也就是說

A

具有性質

P

，而

A

是由所有具有性質

P

的類組成的，所以 $A\in A$ 。
羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。
羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

理髮師悖論又稱為羅素悖論，是由伯特蘭·羅素在1901年提出的。它的出現是由於樸素集合論對於元素的不加限制的定義。由於當時集合論以稱為數學理論的基礎，這一悖論的出現直接導致了第三次數學危機，也引發了眾多的數學家對這一問題的補救，最終形成了現在的公理化集合論。同時，羅素悖論的出現促使數學家認識到將數學基礎公理化的必要性。

內容

一個城市裡唯一的理髮師只給所有不給自己理髮的人理髮。這個城市不可能存在，因為：

如果理髮師不給自己理髮，他需要遵守規則，給自己理髮
如果理髮師給自己理髮，如遵守規則，他不准給自己理髮

換用集合語言：

可以把集合分為兩類，凡不以自身為元素的集合稱為第一類集合；凡以自身作為元素的集合稱為第二類集合。顯然每個集合或為第一類集合或為第二類集合。設 $\mathbf{A}$ 為第一類集合的全體組成的集合。

如果 $\mathbf{A}$ 是第一類集合，由集合 $\mathbf{A}$ 的定義知: $\mathbf{A}$ 應該是 $\mathbf{A}$ 的元素，這表明 $\mathbf{A}$ 是第二類集合
如果 $\mathbf{A}$ 是第二類集合，那麼 $\mathbf{A}$ 是它自身的元素

二者皆導出矛盾，而整個討論邏輯上是沒有問題的。問題只能出現在集合的定義上。

數學語言

設對於一類集合， $A_1 = \{ a_{1,1}, a_{1,2}, \cdots a_{1,i} \cdots \} , A_2 = \{ a_{2,1} , a_{2,2} , \cdots , a_{2,i} \cdots \} , \cdots ,A_i = \{ a_{i,1} , a_{i,2} , \cdots , a_{i,j} \cdots \}$ 都滿足條件 $a_{i,j} \not\in A_i \left( i = 1, 2,\cdots j = 1, 2, \cdots \right)$ 但 $A_i \in A_i$ 一切這類集合構成新集合 $A = \{ A_1 , A_2 , \cdots , A_i , \cdots \} , A_i \in A$ ，那麼是否有 $A \in A$ ？如果認為 $A \in A ,$ 則 $A$ 應該不是自身集合的元素，即 $A \not\in A$ ，如果 $A \in A , A$ 就應是本集合的元素，即 $A \not\in A$ ，所以矛盾。

補救

由於羅素悖論的出現所引發的第三次數學危機，公理化集合論勢在必行。德國數理邏輯學家策梅洛（Zermelo，1871年-1953年）應用自己的公理系統，使得集合在公理的限制下不會太大，從而避免了羅素悖論。經過改進，這一系統形成了現在被稱為ZF系統的公理集合論體系。這個體系至今沒有發現悖論。

悖论，问题出在哪里？

問題從哪裏來？人類認知不可質疑的底線智慧位元级别对错观 动机与相反的契机 完美 思维与源讯息及镜像讯息
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